幂函数的定义是什么

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综合高中函数模块中,幂函数课题既是学生学得难点,也是教师教的难点。你知道幂函数的定义是什么吗?以下是本站小编分享给大家的关于幂函数定义,一起来看看吧!

幂函数的定义是什么

幂函数定义

形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。

当a取非零的有理数时是比较容易理解的,而对于a取无理数时,初学者则不大容易理解了。因此,在初等函数里,我们不要求掌握指数为无理数的问题,只需接受它作为一个已知事实即可,因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。

幂函数特性介绍

对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:

首先我们知道如果a=p/q,且p/q为既约分数(即p、q互质),q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号下(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数a是负整数时,设a=-k,则y=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:

a小于0时,x不等于0;

a的分母为偶数时,x不小于0;

a的分母为奇数时,x取R。

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值域介绍

当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:

1.在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。

2.在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数,0才进入函数的值域。

定义域

当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:

1.如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;2.如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数。

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